Ekuivalen

Dua kalimat disebut Ekuivalen (secara logika) bila dan hanya bila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing – masing kalimat penyusunannya. Jika p dan q adalah kalimat yang ekuivalen, maka dituliskan p ≡ q atau p <=> q . Jika p ≡ q maka q ≡ p juga.

contoh : 

Beberapa hukum ekuivalen logika

• Hukum Komutatif                                       p ^ q <=> q ^ p ,      p v q <=> q v p

• Hukum Asosiatif                                        (p Ù q) Ù r Û p Ù (q Ù r)

                                                                              (p Ú q) Ú r Û p Ú (q Ú r)

• Hukum Distributif                                      p Ù (q Ú r) Û (p Ù q) Ú (p Ù r)
                                                                     p Ú (q Ù r) Û (p Ú q) Ù (p Ú r)

• Hukum Identitas                                        p Ù T Û p ,      p Ú F Û p

• Hukum Ikatan                                            p Ú T Û T ,        p Ù F Û F

• Hukum Negasi                                          p Ú ¬ p Û T ,       p Ù ¬ p Û F

• Hukum Negasi Ganda                             ¬(¬ p ) Û p

• Hukum Indempoten                                  p Ù p Û p ,        p Ú p Û p 

• Hukum De Morgan                                 ¬(p Ù q) Û ¬ p Ú ¬ q ,   ¬(p Ú q) Û ¬ p Ù ¬ q

• Hukum Absorbsi                                      p Ú (p Ù q) Û p ,     p Ù (p Ú q) Û p

• Negasi T dan F                                      ¬ T Û F ,     ¬ F Û T

Contoh:

1. Sederhanakan bentuk ¬(¬ p Ù q) Ù (p Ú q)

    Jawab :    De Morgan

    ¬(¬ p Ù q) Ù (p Ú q) Û (¬(¬ p) Ú ¬ q) Ù (p Ú q)

            Û (p Ú ¬ q) Ù (p Ú q)

        Negasi        Û p Ú (¬ q Ù q)

       Identitas      Û p Ú F

                            Û p

      Jadi ¬(¬ p Ù q) Ù (p Ú q) Û p

2. Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini tanpa menggunakan tabel kebenaran!

  a.  ¬(p Ú ¬ q) Ú (¬ p Ù ¬ q) Û ¬ p

Jawab:

      Û (¬ p Ù ¬(¬ q)) Ú (¬ p Ù ¬ q)  de Morgan

      Û (¬ p Ù q) Ú (¬ p Ù ¬ q)  negasi ganda

      Û ¬ p Ù (q Ú ¬ q)    distributif

      Û ¬ p Ù T      negasi

      Û ¬ p    identitas

  b.  (p ® (q ® r)) Û ( (p Ù q) ®r)

jawab:

      Û ¬ p Ú (q ® r)  Transformasi dr ® ke Ú

      Û ¬ p Ú (¬ q Ú r) Transformasi dr ® ke Ú        

      Û (¬ p Ú ¬ q ) Ú r  Asosiatif

      Û ¬( p Ù q) Ú r  De Morgan

      Û (p Ù q) ®r Transformasi dr Ú ke ®

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI

Tautologi adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai true tidak peduli apa nilai

kebenaran proposisi penyusunnya!

 [tabel kebenarann?]

Contoh: p Ú Øp    [tabel kebenaran?]              

     p ® p

Kontradiksi adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai false tidak peduli apapun! 

contoh:  p Ù Øp                        [tabel kebenaran?] 

              (p ↔ q) Ù (Ø p ↔ q)

KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI

Beberapa terminologi dalam implikasi  p ® q :

•        Konvers-nya adalah:        q ® p
•        Invers-nya adalah:        ¬p ® ¬q
•        Kontraposisi-nya adalah:   ¬q ® ¬ p

Implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisi.

Contoh :

“Jika A merupakan suatu bujursangkar, maka A merupakan suatu empat persegi panjang.”

•           Konvers : “Jika A merupakan empat persegi panjang, maka A adalah suatu bujursangkar.”
•           Invers : “Jika A bukan bujursangkar, maka A bukan empat persegi panjang.”
•           Kontraposisi : “Jika A bukan empat persegi panjang, maka A bukan bujursangkar.”

1.